Derivada en calculo diferencial

Derivada en calculo diferencial

trabajo de la derivada

En matemáticas, la derivada de una función de una variable real mide la sensibilidad al cambio del valor de la función (valor de salida) con respecto a un cambio en su argumento (valor de entrada). Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo. Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del objeto: mide la rapidez con la que cambia la posición del objeto cuando avanza el tiempo.

La derivada de una función de una sola variable en un valor de entrada elegido, cuando existe, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese valor de entrada. Por esta razón, la derivada se describe a menudo como la “tasa de cambio instantánea”, la relación entre el cambio instantáneo de la variable dependiente y el de la variable independiente.

Las derivadas pueden generalizarse a funciones de varias variables reales. En esta generalización, la derivada se reinterpreta como una transformación lineal cuya gráfica es (tras una traslación adecuada) la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función original. La matriz jacobiana es la matriz que representa esta transformación lineal con respecto a la base dada por la elección de las variables independientes y dependientes. Se puede calcular en términos de las derivadas parciales respecto a las variables independientes. Para una función de valor real de varias variables, la matriz jacobiana se reduce al vector gradiente.

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economía de las derivadas

En cálculo, la segunda derivada, o la derivada de segundo orden, de una función f es la derivada de la derivada de f. A grandes rasgos, la segunda derivada mide cómo está cambiando la tasa de cambio de una cantidad; por ejemplo, la segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del objeto, o la tasa a la que la velocidad del objeto está cambiando con respecto al tiempo. En notación de Leibniz:

En la gráfica de una función, la segunda derivada corresponde a la curvatura o concavidad de la gráfica. La gráfica de una función con una segunda derivada positiva es cóncava hacia arriba, mientras que la gráfica de una función con una segunda derivada negativa se curva en sentido contrario.

. Sin embargo, esta forma no es manipulable algebraicamente. Es decir, aunque se forme con la apariencia de una fracción de diferenciales, la fracción no se puede dividir en trozos, los términos no se pueden cancelar, etc. Sin embargo, esta limitación se puede remediar utilizando una fórmula alternativa para la segunda derivada. Ésta se deriva de aplicar la regla del cociente a la primera derivada[3] Haciendo esto se obtiene la fórmula

símbolo de la derivada

Determinar la derivada de una función a partir de los primeros principios requiere un largo cálculo y es fácil cometer errores. Sin embargo, podemos utilizar este método de hallar la derivada a partir de los primeros principios para obtener reglas que simplifiquen la búsqueda de la derivada de una función.

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No hemos aprendido una regla para diferenciar un producto, por lo que debemos expandir los paréntesis y simplificar antes de poder determinar la derivada: \g(t) &= 4\a la izquierda( t + 1 \a la derecha)^{2} \left( t – 3 \right) \\\left( t^{2} + 2t + 1 \right) \left( t – 3 \right) \\left( t^{3} + 2t^{2} + t – 3t^{2} – 6t – 3 \right) \\left( t^{3} – t^{2} – 5t – 3 \right) \\\\left( 4t^{3} – 4t^{2} – 20t – 12 \\\N-por lo tanto g'(t) &= 4 \N-izquierda( 3t^{2} \N-derecha) – 4\N-izquierda( 2t \N-derecha) – 20 – 0 \N- &= 12t^{2} – 8t – 20 \\N – end{align*}

No hemos aprendido una regla para diferenciar un cociente, por lo que primero debemos simplificar la expresión y luego podemos diferenciar: \k(t) &= \frac{(t + 2)^{3}{sqrt{t}} \\N – &= \frac{(t + 2)(t^{2} + 4t + 4)}{{cuadrado{t}} \\N – &= \frac{ t^{3} + 6t^{2} + 12t + 8}{t^{frac{1}{2}} \\ &= t^{-\frac{1}{2} \left( t^{3} + 6t^{2} + 12t + 8 \right) \\\\N y= t^{\frac{5}{2} + 6t^{frac{3}{2} + 12t^{frac{1}{2} + 8t^-\frac{1}{2} \\ Por lo tanto g'(t) &= \frac{5}{2}t^{\frac{3}{2} + 6 \left( \frac{3}{2}t^{\frac{1}{2} \right) + 12 \left( \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2} \right) + 8 \left( – \frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2} \right) \\\\t &= \frac{5}{2}t^{\frac{3}{2} + 9t^{frac{1}{2} + 6t^-\frac{1}{2} – 4t^-\frac{3}{2} \fin{align*}

lista derivada

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En este capítulo empezaremos a ver el siguiente tema importante en una clase de cálculo, las derivadas. Este capítulo está dedicado casi exclusivamente a encontrar derivadas. Veremos una aplicación de las mismas en este capítulo. Dejaremos la mayoría de las aplicaciones de las derivadas para el próximo capítulo.

La definición de la derivada – En esta sección definimos la derivada, damos varias notaciones para la derivada y trabajamos algunos problemas que ilustran cómo usar la definición de la derivada para calcular realmente la derivada de una función.

Interpretación de la derivada – En esta sección damos varias de las interpretaciones más importantes de la derivada. Discutimos la tasa de cambio de una función, la velocidad de un objeto en movimiento y la pendiente de la línea tangente a una gráfica de una función.

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